ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त-रहस्यम्

१८.३०-३२

धनयोर्धनमृणमृणयोर्धनर्णयोमन्तरमसमैः ।
शून्यमृणधनयोः शेषं शून्ययोः शून्यम् ॥

dhanayordhanamṛṇamṛṇayordhanaṛṇayomantaramasamaiḥ |
śūnyamṛṇadhanoḥ śeṣaṃ śūnyayoḥ śūnyam ||

शून्य के अंकगणितीय नियम (Algebra of Zero)

\(+\text{ve} + +\text{ve} = +\text{ve}\), \(-\text{ve} + -\text{ve} = -\text{ve}\)
\(a - a = 0\), \(0 + 0 = 0\), \(0 \times a = 0\), \(0 \times 0 = 0\)
\(\frac{a}{0} = \text{खच्छेद}\) (Khacheda - division by zero yields infinity)

English Positive plus positive is positive; negative plus negative is negative; positive minus positive is zero; zero times anything is zero; a number divided by zero has zero as its denominator (Khacheda / Infinity).

सुधार · correction (2026-10-07) अप्रमाणित: छपा संस्कृत ऊपर दिए नियम/सूत्र को पूरा नहीं कहता, और इस श्लोक के इस रिपॉज़िटरी में कई भिन्न पाठ हैं; मुद्रित संस्करण से मिलान बाकी है। Unverified: the printed Sanskrit does not state everything shown, and the repository holds several differing texts of this verse.

१८.६४-६५

इष्टवर्गगुणाद्रूपादेकद्वियुताद्विशोधितान्मूले ।
सद्भावयेत्प्रकृतिं चेत् द्विधा वर्गमूलसिद्धिरिति ॥

iṣṭavargaguṇādrūpādekadviyutādviśodhitānmūle |
sadbhāvayetprakṛtiṃ chet dvidhā vargamūlasiddhiriti ||

भावना विधि (Brahmagupta's Identity for Pell's Equation)

\[ (x_1^2 - N y_1^2)(x_2^2 - N y_2^2) = (x_1 x_2 + N y_1 y_2)^2 - N(x_1 y_2 + x_2 y_1)^2 \]

English Brahmagupta's Samāsa-bhāvanā composes two solutions of \(x^2 - N y^2 = k\) to generate infinite integer solutions 1000 years before Fermat and Euler.

१२.२१

स्थूलफलं त्रिचतुर्भुजबाहुप्रतिबाहुयोगदलघातः ।
भुजयोगार्धचतुष्टयभुजोनघातात् पदं सूक्ष्मम् ॥

sthūlaphalaṃ tricaturbhujabāhupratibāhuyogadalaghātaḥ |
bhujayogārdhacatuṣṭayabhujonaghātāt padaṃ sūkṣmam ||

ब्रह्मगुप्त का क्षेत्रफल सूत्र (Brahmagupta's Formula)

\[ A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}, \quad \text{where } s = \frac{a+b+c+d}{2} \]

English The exact area of a cyclic quadrilateral with sides \(a, b, c, d\) is the square root of the product of the semi-perimeter minus each side.

सुधार · correction (2026-10-07) पहले छपे पाठ में “भुजोन” (प्रत्येक भुजा घटाकर) नहीं था; वैसे पढ़ने पर चार अर्ध-योगों के गुणनफल का मूल s² होता, ऊपर दिया सूत्र नहीं। Brahmagupta_Full_Dataset.json का पाठ “भुजयोगार्धचतुष्टयभुजोनघातात्” वही सूत्र देता है: √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))। Correction: “bhujona” restored from the repository's dataset copy, without which the formula shown does not follow.

कुट्टकाध्याय (शून्य-अंकगणित एवं भावना)

क्षेत्रगणित (वृत्तीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल)