माधव-तन्त्रसंग्रह-रहस्यम्

माधव की \(\pi\) श्रेणी (Madhava's Infinite Series for \(\pi\))

\[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} \]

English Multiply the diameter by 4 and divide by 1. Separately subtract and add the quotient of diameter times 4 divided by odd numbers 3, 5, 7, 9... This yields the infinite series for the circumference (\(\pi d\)).

सुधार · correction (2026-10-07) पहले “व्याससागराभ्यासे … त्रिषराद्या” छपा था। “शर” (बाण = ५) भूतसंख्या है; त्रि-शर-आदि = ३, ५, … — वही विषम संख्याएँ जो अनुवाद में हैं; और “अभिहते” (गुणित) “वारिधिनिहते” के साथ मेल खाता है। Madhava_Full_Dataset.json और library.html यही पाठ रखते हैं। युक्तिभाषा मलयालम में है, इसलिए यह आरोपण अप्रमाणित है। Correction: “vyāsasāgarābhihate … triśarādi” from the repository's dataset and library copies; the attribution to Yuktibhāṣā is unverified.

माधव की Sine एवं Cosine अनन्त श्रेणी (Madhava Taylor Series for Sine & Cosine)

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \]

\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]

English Madhava's infinite expansion of sine and cosine functions accurate to 12 decimal places discovered 300 years before Isaac Newton and Gottfried Leibniz.

सुधार · correction (2026-10-07) अप्रमाणित: यह संस्कृत ऊपर दिखाई गई क्रमगुणित (factorial) श्रेणी को नहीं कहती, और “१२ दशमलव” का दावा इसमें नहीं है; इस रिपॉज़िटरी में इसका कोई दूसरा साक्षी नहीं। माधव के ज्या-मान जिनका स्रोत है वे कटपयादि शब्दों में हैं — त्रिज्या ३४३७′४४″४८‴ और “विद्वान्…निर्विद्धाङ्गनरेन्द्ररुङ्” गुणांक (katapayadi.test.js) — और spanda-ganita.js उन्हीं से ज्या निकालता है। Unverified: the printed Sanskrit does not state the series shown; the sourced Mādhava sine data are the Kaṭapayādi words in katapayadi.test.js.